II.+Funcţii+logice

**II.1. Elemente de algebră booleană **
O algebră booleană este mulţimea A={0,1} înzestrată cu două legi de compozitie "È" şi "Ç" şi o lege de complementare notată cu "` " (supraliniere), o aplicaţie a mulţimii A în ea însăşi. ** 1.1 PROPRIETĂŢILE ALGEBREI BOOLEENE ** Se notează pentru simplificarea scrierii produsul boolean cu " · " şi suma booleană cu "**+**".

**II.2. Forme de exprimare a funcţiilor logice **
O **funcţie logică** este definită de una sau mai multe variabile care nu pot lua decât valorile “0” sau “1”. Funcţia logică poate conţine un număr variabil de termeni. Numărul maxim de termeni N este egal cu 2 n  (unde n este numărul de variabile ale funcţiei). În aparatura digitală valorile logice “0” şi “1” ale variabilelor funcţiei sunt reprezentate prin două potenţialuri diferite. **a. Reprezentarea funcţiilor logice cu tabel de adevăr ** **Reprezentarea tabelară ** cuprinde toate combinaţiile posibile de variabile de intrare şi înregistrează, în dreptul fiecăreia, valoarea corespunzătoare la ieşire pentru funcţia f.
 * Exemplu ****:** Pentru o funcţie **f** oarecare cu două variabile **A**, **B** tabelul de adevăr poate fi:

**b. **   Pentru trei variabile de intrare A, B, C, expresia funcţiei în f.c.n.d. va fi: P 0  = ` A ×` B ×` C ; P  1  = ` A ×` B × C ; P  2  = ` A × B ×` C ; P  3  = ` A × B × C ; P  4  =A ×` B ×` C ; P  5  =A ×` B × C ; P  6  =A × B ×` C ;P  7  =A × B × C, reprezintă produsele ordonate ale variabilelor de intrare.
 * Reprezentarea funcţiei logice sub formă canonică **
 * **Formă canonică normal disjunctivă (f.c.n.d.) ** este redată printr-o **sumă de produse**, adică printr-un număr de termeni conectaţi printr-un operator **AND** reuniţi apoi printr-un operator **OR**.
 * Exemplu: **
 * f(A,B,C)=a ** 0 ** P ** 0 ** +a ** 1 ** P ** 1 ** +a ** 2 ** P ** 2 ** +........+a ** 7 ** P ** 7 ,expresie în care:

Pentru comoditate, se reprezintă, uneori, termenii canonici prin numerele zecimale asociate (A - 2 2 ; B - 2 1 ; C - 2 0 ).
 * **Forma canonică normal conjunctivă ( f.c.n.c.) ** foloseşte un **produs de sume, **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;"> obţinut cu operatori **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;">AND **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;"> care conectează termeni legaţi prin operatori **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;">OR **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;">.
 * Exemplu <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">: **

Pentru trei variabile de intrare A,B,C, expresia funcţiei va fi: f(A,B,C)=`a0S0×`a1S1×`a2S2×.........`a7S7, expresie în care: S0=A+B+C ; S1=A+B+`C ; S2=A+`B+C ; .........; S7=`A+`B+`C //** Observaţie: **// Spre deosebire de f.c.n.d.,unde expresia funcţiei conţine termenii canonici pentru care coeficienţii ak sunt 1, la f.c.n.c. intervin în expresia funcţiei acei termeni S k pentru care coeficienţii a k sunt 0. La trecerea de la tabelul de adevăr la f.c.n.c. dispar termenii care au ai = 0. **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">c. ** **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Reprezentarea prin diagrame Veitch-Karnaugh. ** <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Diagramele **Veitch-Karnaugh** sunt o reprezentare grafică a formelor canonice. Diagrama **Veitch-Karnaugh** constă dintr-o suprafaţă bidimensională de pătrate sau căsuţe, fiecare pătrat/căsuţă corespunzând unui termen produs canonic. Pentru fiecare zonă a diagramei V-K corespunde un număr pe orizontală şi unul pe verticală, a căror reunire este asociată unei anumite linii din tabelul de adevăr. //<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">O caracteristică a diagramelor **Veitch-karnaugh** este aceea că orice căsuţă diferă de căsuţa adiacentă printr-o singură variabilă. // <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Două diagrame **Veitch-Karnaugh** cu trei şi patru variabile sunt prezentate mai jos. Sunt opt, respectiv şaisprezece combinaţii a câte trei /patru variabile şi fiecăreia dintre aceste combinaţii îi este alocată câte o căsuţă în diagramă.
 * diagrama Veitch Karnaugh pentru 3 variabile de intrare** **diagrama Veitch Karnaugh pentru 4 variabile de intrare**

<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Pentru a uşura transcrierea unei funcţii sub forma unei diagrame V-K este util să se memoreze ordinea de completare a zonelor cu coeficienţii termenilor canonici respectivi. **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">d. ****<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Reprezentarea funcţiilor logice sub formă elementară ** <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Spre deosebire de formele canonice prezentate mai sus, termenii **formelor elementare** nu conţin toate variabilele de intrare. <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Se poate ajunge de la o formă de reprezentare canonică la una elementară prin operaţia numită **minimizare**. **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Formele elementare **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;"> de exprimare a unei funcţii oferă avantaje faţă de formele canonice la realizarea practică (implementare) a funcţiei deoarece numărul de circuite şi componente electronice implicat este mai mic.

**<span style="color: windowtext; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">II.3. Minimizarea funcţiilor logice **
<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">În practica designului circuitelor integrate digitale, două dintre cele mai importante aspecte le reprezintă costul circuitului şi fiabilitatea acestuia. De aceea, etapa de proiectare este aceea în care se va lua decizia în legătură cu forma finală a funcţiei logice care va fi implementată. <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Prin **minimizare** se înţelege trecerea de la o formă canonică la o formă elementară de exprimare a funcţiei, prin eliminarea unor variabile de intrare din termenii funcţiei. **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Scopul minimizării **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;"> constă în obţinerea unei expresii a cărei implementare va costa mai puţin sau care va opera mai rapid decât prin implementarea expresiei iniţiale. <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Una dintre cele mai răspândite metode de minimizare este aceea utilizând **diagramele Veitch-Karnaugh**. **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Minimizarea prin diagramele Veitch-Karnaugh **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;"> reprezintă o metodă vizuală simplă de identificare a termenilor care pot fi combinaţi. **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Tehnica minimizării cu ajutorul diagramelor Veitch-Karnaugh: ** Observaţie: // Nu întotdeauna implementarea directă a unei forme minime, rezultată din diagrama V-K, se face cu un număr minim de porţi. // ** Exemplu : **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;"> Să se minimizeze funcţia  <span style="display: inline !important; font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">f = P 3 +P 7 +P 8 +P 9 +P 12 +P 13 +P 15 <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;">folosind diagrama V-K. <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Pentru construirea diagramei Karnaugh se poate porni de la **f.c.n.d.** <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 16px; line-height: 1.5;">(caz în care suprafeţele maximale vor fi date de căsuţele adiacente conţinând 0 logic) <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;">sau **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;">f.c.n.c **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;">. (caz în care suprafeţele maximale vor fi date de căsuţele adiacente conţinând 0 logic).
 * 1) <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Se începe, de obicei, de la funcţia exprimată ca sumă de produse.
 * 2) <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Se marchează cu 1 căsuţele din diagrama Veitch-Karnaugh care corespund termenilor din expresie; căsuţele rămase pot fi marcate fie cu zerouri pentru a indica faptul că funcţia va fi 0 în aceste situaţii, fie vor rămâne goale.
 * 3) <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Se grupează cele mai largi suprafeţe valide de 1 formate din căsuţe adiacente (pe orizontală sau verticală ); suprafeţele pot conţine un număr de căsuțe/pătrate egal cu puteri ale lui 2.
 * 4) <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt;">Se consideră a fi căsuţe adiacente inclusiv cele de pe latura opusă (sus/jos sau stânga/dreapta), întrucât ele corespund termenilor care au doar o variabilă diferită.
 * 5) <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;">Aceste suprafeţe maximale corespund termenilor elementari, iar reprezentarea grafică este ilustrarea teoremei:
 * 6) <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;">Forma elementară se obţine ca o sumă de produse, unind prin operatori **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;">SAU (OR) **<span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;"> termenii elementari rezultaţi în urma etapei V.
 * <span style="font-family: Arial,sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 1.5;">REZOLVARE **